Сангаку – јапански геометријски проблеми

sangmalaСангаку су јапански геометријски проблеми који су цртани на дрвеним таблама и постављани у њиховим храмовима у периоду 1603–1867. године. Цртежи су били у боји, а многи од њих су уништени у периоду који је уследио након наведеног. Остало је сачувано око 900 оваквих геометријских представа. Може се рећи да су у њима истицани изванредни геометријски феномени од којих сe неки третирају теоремама, а други ce могу решавати као веома инструктивни задаци.

Прочитајте више „Сангаку – јапански геометријски проблеми“

Центрирани хексагони бројеви; Збир низа оваквих бројева

Низ центрираних хексагоних бројева чине: 1, 7, 19, 37, 61, 91, …  а општи члан се може записати у облику:

a_{n}=3n^2-3n+1.

Они се могу представити и сликовито, а прва три су:

hexbojevi1

Идеја је да одредимо збир првих n чланова оваквог низа.

Прочитајте више „Центрирани хексагони бројеви; Збир низа оваквих бројева“

Пикова теорема

Нека је дат многоугао чија темена у неком Правоуглом координатном систему имају целобројне координате. Површина оваквог многоугла одређује се на веома једноставан начин применом једне формуле која захтева само познавање броја темена и броја свих тачака датог координатног система које имају целобројне координате и које припадају датом многоуглу.

Нека је i – број тачака које имају целобројне координате и које су у унутрашњости многоугла, и нека је b – број тачака са целобројним координатама које су темена или припадају ивицама многоугла, тада се површина овог многоугла рачуна по формули:

\displaystyle P=i+\frac{b}{2}-1

Претходна формула ствар је такозване Пикове теореме, коју је описао аустријски математичар Георг Александер Пик, 1899. године.

На пример, површина нашег шестоугла са слике је: \displaystyle P=12+\frac{6}{2}-1=14

Платонова тела

Платонова тела су добила назив по старогрчком филозофу Платону, због њихове употребе у „Тимеју“ где су појавама четири елемента додељивани облици геометријских тела. Тетраедар је био повезан са ватром, октаедар ваздухом, икосаедар водом, а хексаедар земљом, док је додекаедар био на располагању Творцу да представи васиону.

Платонова тела задовољавају два услова којим се карактеришу правилни полиедри: све стране су им правилни међусобно подударни многоуглови и сви рогљеви су им правилни, међусобно подударни и конвексни.

Прочитајте више „Платонова тела“

Дефиниције из прве књиге Еуклидових „Елемената“

Елементи су капитално античко дело о математици, а за њиховог аутора сматра се старогрчки научник Еуклид, из 3. века пре нове ере. Еуклидови Елементи садрже 13 књига и представљају систематско излагање познате грчке математике тог времена из облсти: елементарне геометрије, теорије бројева, алгебре, теорије мерења геометријских величина и елемената теорије граничних вредности. Један су од најважнијих извора за Историју математике, а и историју цивилизације уопште.

У првој књизи Елемената, Еуклид даје основне геометријске дефиниције. Њих има двадесет три, па наведимо их.

1. Тачка је оно што нема делова.
2. Линија је дужина без ширине.
3. Крајеви линије су тачке.
4. Права је линија она, која за тачке на њој подједнако лежи. Прочитајте више „Дефиниције из прве књиге Еуклидових „Елемената““

Неке анегдоте и напомене о Талесу

О Талесовом животу углавном се сазнаје из Херодотовог дела “Историја“. Талес је био припадник групе Седам мудраца, и први је међу њима коме је додељен назив мудрац. Постоји веома интересантна прича као легенда о седам мудраца. Хелени су препричавали како су рибари уловили један троножац. Напомиње се да је био златан, или чак од бакра. Рибари нису знали шта да ураде са њим, па су упитали своје пророчиште. А ови су им одговорили да „улов“ треба да предају најмудријем. Након распитивања ко би то могао бити, упућени на Талес Милећанина. Однели су му троножац, напоменувши да долазе по препоруци пророчишта. Талес, заиста као мудрац, одбија да прими поклон. Јер да га је примио показао би да је охол и нескроман, а то у грчком друштву није била одлика мудрог човека.  Талес је прихватио да се у народу говори да је он мудар, али је устврдио да има и мудријих од њега и да је Бијант тај који је од њега мудрији. Бијант је такође одбио поклон, упутивши рибаре на следећег мудраца и тако је троножац кружио док се поново није вратио првонамењеном – Талесу. Тек по други пут Талес је прихватио част.

Талес је рођен oko 624 г. ПНЕ, у малоазијском приморском граду Милету у племићкој породици.

Прочитајте више „Неке анегдоте и напомене о Талесу“

Неке напомене о броју ПИ

Број \pi \approx 3, 141592653589793... је константа у математици и изворно се дефинише као однос обима и пречника код круга. Назива се још Архимедовом константом.

\pi je ирационалан број, што говори да се не може представити у облику разломка.

Он је, такође, и трансцендентан број,  то јест не постоји полином са рационалним коефицијентима чија би број \pi био нула.

Прочитајте више „Неке напомене о броју ПИ“

Троуглови са целобројним страницама и угловима 120° или 60°

Троуглови са страницама чије се дужине изражавају целим бројевима се још називају и целобројним троугловима или интегралним троугловима. Међу њима су најпознатији они чије странице су тзв. Питагорине тројке бројева. У тексту који можете овде преузети изложено је каква правилност влада међу страницама оваквих троуглова са 120° или 60°, и дати неки примери. За читање чланка неопходно је познавање косинусне теореме. Због тога чланак није „читљив“ основцима, сем можда некима који су отишли корак даље и математику не доживљавају само као наставни премет који треба „одрадити“ већ се интересују да читају и садржаје који су за нешто мало старије.

преузимање чланка

Андрей Николаевич Колмогоров

Андреј Николајевич Колмогоров (1903 – 1987.) руски је математичар, који је остао забележен као један од највећих математичара 20. века. Његови доприноси су превасходно у теорији вероватноће, затим топологији, теорији турбуленција и класичној механици. Са својим учеником В. И. Арнолдом решио је 13. Хилбертов проблем.

Преносимо два веома интересантна чланка овог аутора, објављена у научно популарном физичко-математичком журналу „Квант“. Чланци су доступни већ за читаоце средњошколског нивоа и односе се на веома важни математички појам функције.

Шта је функција?              Шта је график функције?