Месец: август 2013

Доказ Питагорине теореме од стране америчког председника

pitagДвадесети по реду, амерички председник Џејмс Гарфилд, доказао је 1876. године Питагорину теорему на оригиналан начин коришћењем површина.

Јасно је како је добијена фигура са дате слике. Два подударна правоугла троугла постављена су тако да им се катете додирују у једном темену, обе припадају једној правој и троуглови су са исте стране те праве линије. Троугао који је на тај начин одређен хипотенузама је у овом случају значајан и заједно са два правоугла троугла , образују трапез чије су основице a и b и висина a+b.

Одредимо површину овог трапеза на два начина. Прво, директном применом формуле за површину трапеза:

P=\dfrac{(a_1+b_1)\cdot h}{2}=\dfrac{(a+b)\cdot(a+b)}{2}=\dfrac{a^2}{2}+ab+\dfrac{b^2}{2}

Међутим, она се може добити и као збир површина три уочена троугла:

P=2\cdot \dfrac{a b}{2}+\dfrac{c^2}{2}=a b+\dfrac{c^2}{2}

Сада нам једино преостаје да ове две ствари изједачимо, пошто се оба резултата односе на површину исте фигуре. Па важи:

\dfrac{a^2}{2}+ab+\dfrac{b^2}{2}=ab+\dfrac{c^2}{2}

Одузимањем обема странама израза a b добијамо \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{b^2}{2} = \dfrac{c^2}{2}, и коначно одавде множењем са 2, добијамо: a^2+b^2=c^2, што је и требало доказати. \blacksquare

Један доказ Питагорине теореме коришћењем сличности

Добро је познат исказ важне Питагорине теореме, по којој у правоуглом троуглу са дужинама катета a и b и хипотенузе c важи a^2+b^2=c^2. У математици постоји више десетина различитих доказа ове теореме, а овде ће бити приказан један кратак и интересантан доказ у коме се користи сличност троуглова.

pitag_sa_slicnoscu

Пођимо од правоуглог троугла \triangle ABC.  На правој одређеном с’ дужи BC одредимо тачке E и D са разних страна тачке B, и распоредом E - B - C и B - C - D, тако да је EB=BD=AB. Тројка тачака E, D и A одређује круг са центром у темену B.

Покажимо да су троуглови \triangle ECA и \triangle ACD слични.

Они имају по један једнак прав угао. Покажимо да су им и остали парови углова једанки. Троугао \triangle AED је правоугли са правим углом ког темена A, пошто је ED пречник уоченог круга.  У троуглу \triangle ECA је \angle AEC + \angle CAE=90^{\circ}, али пошто је \angle DAC + \angle CAE = 90^{\circ}, тo je и \angle AEC = \angle DAC. A одавде се лако показује да је и трећи пар углова једнак, па следи сличност.

Због сличности ових троуглова пропорционалне су им одговарајуће дужине страница, па важи:

\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{AC}{CD}

односно:

\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{b}{c-a}

а одавде се једноставно добија: b^2=(c+a)(c-a) односно b^2=c^2-a^2, то јест: a^2+b^2=c^2, што је и требало показати. \blacksquare

Мисаоне игре као подстицај развоја креативности код ученика

slikrrРазвој креативности код ученика један је од основних циљева које су поставили савремено друштво и токови у њему, пред сам образовно-васпитни систем, а и ван њега.

Када се говори о креативности, незаобилазна је њена психолошка основа, односно резултати психолошких истраживања који се посебно баве креативношћу и њеним компонентама. Али исто тако, усудићу се да кажем да је веома тешко и помишљати на развијање креативности код деце, ако се те помисли и идеје како то чинити, на неки начин не односе на математику и неке њене методе, „технике“ и знања.

Једна од веома важних, да тако кажем, друштвених тековина које неизоставно утичу на развој креативности су мисаоне игре.

Овде можете преузети мој текст на ову тему, у коме су представљена правила четири веома интересантне мисаоне игре, са дубоком математичком основом.

Ваљевска гимназија у септембру уписује специјално математичко одељење седмог разреда

vagimn

Анализирајући потенцијале и заинтересованост ученика, резултате на такмичењима, као и потребу припреме и прилагођавања за наставак школовања у специјализованом мате-матичком одељењу, Ваљевска гимназија је одлучила да Министарству просвете, науке и технолошког развоја поднесе Захтев за верификацију и Елаборат о испуњености услова и тражи сагласност за отварање једног одељења седмог разреда ученика обдарених за математику.
Основна карактеристика наставе у овом одељењу, у односу на редован наставни план седмог и осмог разреда основне школе, је повећан број часова математике, физике и информатике, односно, смањен број часова уметности, историје и географије. Наставите читање „Ваљевска гимназија у септембру уписује специјално математичко одељење седмог разреда“ →