Синиша Бубоња – Бифонова игла, резанац и број пи

piБрој пи је један од најстаријих бројева познатих човјечанству. Број пи представља однос обима круга и његовог пречника. Број пи је ирационалан и трансцедентан. Познат је људима већ више од 4000 година, што знамо из разних старих списа. Велшки математичар Willijam Jones (1675-1749) је први увео ознаку \pi  за број пи, коју и данас користимо. Посебно је интересантан један од начина добијања приближних вриједности броја \pi , који ћу овдје да изложим.

G. L. Buffon (1707-1788) је био француски ботаничар и љубитељ математике, који је поставио чувени проблем који по њему и носи име – Бифонов проблем. На равној површини имамо нацртане међусобно паралелне праве линије, такве да су сваке две сусједне на једнаком растојању d (можемо узети и шаховску таблу за примјер, гдје хоризонталне или вертикалне границе шаховских поља представљају паралелне линије). Игла дужине l<d се баца на ту равну површину. Бифонов проблем се састоји од одређивања вјероватноће догађаја, да бачена игла сијече неку од правих паралелних линија.

Бифонов проблем игле

На горњој слици видимо да је игла представљена као дуж AB дужине l (l<d ). Такође видимо да једну од паралелних правих пресјеца и гради са њом угао \alpha . Тачка C је средиште дужи AB, а x је њено растојање од њој најближе праве.

Угао \alpha узима вриједности од 0 до \pi , а растојање x од 0 до \frac{d}{2} . Игла сијече праву када x узима вриједности од 0 до \frac{l}{2}sin\alpha . Ова два скупа вриједности углова и растојања могу се представити графички као два скупа уређених парова (\alpha, x) (тачака у равни), као што је приказано на сљедећој слици.

Јасно да је тражена вјероватноћа однос њима одговарајућих површина, тј. површине ограничене апсцисом и графиком функције x=\frac{l}{2}sin\alpha и површине правоугаоника чије су странице дужина \pi и \frac{d}{2} : {P=\frac{\int_0^\pi \frac{l}{2} sin\alpha d\alpha}{\pi\cdot\frac{d}{2}}=\frac{2l}{\pi d}} .

Ако бацамо иглу n пута а број пресјецања означимо са m, добијамо  формулу за приближно одређивање броја \pi: {\pi=\frac{2ln}{md}} . Италијански математичар Марио Лазарони је у 3408 бацања избројао 1808 случајева пресјецања игле са неком од правих. Његова игла је била l=2.5 cm дуга а размак међу паралелним линијама је износио d=3 cm. На тај начин је добио апроксимацију броја \pi са 6 тачних децимала: {\frac{1808}{3408}=\frac{2\cdot 2.5}{\pi\cdot 3}} тј. {\pi=\frac{355}{113}} . Tsu Chung Chi (430-501), кинески математичар и астроном дао је двије апроксимације броја \pi: \frac{355}{113} и \frac{22}{7} . За тадашње вријеме то је био изванредан резултат. Први разломак је управо онај до кога је дошао Лазарони у своме експерименту са иглом. Овдје можете погледати симулацију експеримента са Бифоновом иглом: http://www.metablake.com/pi.swf .

До рјешења Бифоновог проблема можемо доћи на још један начин, рјешавајући други тежи проблем, у коме су математичка израчунавања сведена на минимум а до изражаја долази примјена теорије вјероватноће.

Посматрајмо случајни експеримент, у коме умјесто игле, на равну површину бацамо резанац одређеног утврђеног облика дужине l . Нека је X  случајна промјењива – број пресјецања баченог резанца дужине l  са паралелним линијама. Одредимо E(X)  – математичко очекивање случајне промјењиве X. На слици доле, видимо бачени резанац који пресјеца паралелне линије 5 пута.

Бифонов резанац

Резанац увијек можемо апроксимирати тако, да га подијелимо одговарајућим тачкама на n довољно малих дијелова, затим их замијенимо дужима које спајају њихове крајње тачке. Број пресјека добијеног облика са паралелним правама остаје исти. Нека је X_i  случајна промјењива – број пресјецања i-тог дијела резанца (дужи) дужине l_i  са паралелним линијама. За математичко очекивање вриједи формула: E(X_1+X_2+...+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n) . Јасно је да математичко очекивање случајних промјењивих зависи искључиво од дужина добијених дијелова: E(X_i)=f(l_i),\ i=1,2,...,n , гдје је f функција коју треба да одредимо. Спајањем два дијела тако да чине једну дуж, добијамо да вриједи: E(X_1+X_2)=f(l_1+l_2) тј. f(l_1+l_2)=f(l_1)+(l_2) . Функција f је линеарна на скупу рационалних бројева Q, што се лако провјерава. Пошто је монотоно растућа, она је линеарна и на скупу R, тако да вриједи: f(l_i)=c\cdot l_i,\ i=1,2,...,n . Пошто је X апроксимирано са X_1+X_2+...+X_n , преласком на граничну вриједност добијамо сљедећу формулу: E(X)=c\cdot l=f(l) ;  c је константа коју треба да одредимо. Треба да одредимо облик резанца за који тачно знамо колико пута сијече паралелне линије. Тражени облик је на сљедећој слици.

кружница

Видимо да је бачени резанац у облику кружнице пречника d, дужине l=d\cdot\pi ; како год да падне на равну површину, паралелне линије сијече 2 пута тј. E(X)=2 . Имамо да вриједи: {2=f(l)=c\cdot l=c\cdot\pi\cdot d}  тј. c=\frac{2}{\pi d} . Коначно добијамо: {E(X)=f(l)=\frac{2l}{\pi d}} .

Претпоставимо сада да је резанац облика игле, дужине l (l<d ). Вриједи једнакост: E(X)=0\cdot p_0+1\cdot p_1=P=\frac{2l}{\pi d} .  Добили смо рјешење Бифоновог проблема.

Синиша Бубоња – www.m4t3m4t1k4.wordpress.com

Оставите коментар

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

Gravatar
WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. ( Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. ( Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. ( Одјавите се /  Промени )

Одустани

Повезивање са %s