Нови задаци за припрему – Теорија бројева

Задаци су углавном за припреме 7. и 8. разреда, а неке од њих могу решавати и ученици 6. разреда.

1.  Да ли се ивице коцке могу нумерисати бројевима 1, 2, 3, …, 12 (12 ивица) тако да збир три броја на ивицама које се састају у заједничком темену буде исти за сва темена?

2. Одредити најмањи природан број који помножен са 2 постаје квадрат, а помножен са 3 постаје куб неког другог природног броја.

3. Може ли се милијарда записати као производ два цела броја тако да међу цифрама ових бројева нема нула?

4. На свакој страни коцке (6 страна) написан је по један број, и то тако да је сваки аритметичка средина четири суседна. Доказати да су сви написани бројеви једнаки међусобно.

5. Решити једначину (x-5)(x-4)(x-3)(x-2)=3024

6. Ако су у шестоцифреном броју прва и четврта цифра једнаке, друга и пета цифра једнаке и трећа и шеста цифра једнаке, доказати да је тај број дељив са 11 и 13.

7. Ако су у троцифреном броју дељивом са 7 две последње цифре једнаке, доказати да је збир цифара тог броја дељив са 7.

8. Доказати да разлика једног троцифреног броја и броја који је написан истим цифрама, али у обрнутом пореткуне може бити квадрат природног броја.

9. Доказати да је производ свих природних бројева од 101 до 200 дељив са 2^{100}, а није дељив са 2^{101}.

10. Да ли је број 1000…0008 (2011 нула) дељив са 36 и 72?

11. Нека су x и y цели бројеви такви да је производ (16x+17y)(17x+16y) дељив са једанаест. Доказати да је тај производ дељив и са 121.

12. Доказати да број n^2 - n + 2011, за било које  n \in N, није дељив са 2010 и 2012.