Нека је ABCD произвољан конвексан четвороугао. Нека су К и М редом средишта страница AB i CD. Нека је тачка N пресек дужи АМ и DК, тачка L пресек дужи КС и ВМ. Доказати да је површина четвороугла KLMN једнака збиру површина троуглова AND и BCL.
Решење. Означимо са E, F и G редом подножија висина из темена D, M и C, троуглова AKD, ABM, KBC. На слици су одговарајуће висине истакнуте црвеном бојом. Наравно, све ове висине су нормалне на AB, паралелне су међусобно, и део су једног правоуглог трапеза EGCD (GC и DE су му основице). M je средиште DC па је MF средња линија трапеза EGCD, и важи FM=(ED+GC)/2.
С обзиром да је
сада важи:
Дакле,
И ово је кључни моменат овог задатка. Сада само треба обема странама одузети њихове заједничке делове, тј. површине троуглова AKN и KBL. А када једнаким странама у горњем идентитету одизмемо једнаке величине, тј. површине та два троугла, добијамо управо оно што је и требало показати:
МАТЕМАТИЧКИ ФОРУМ 